Problemas sobre lógica proposicional - Problema 2

De las siguientes proposiciones, ¿cuáles son equivalentes entre si?

1. Es necesario que Juan no vaya al cine para que termine su tarea.
2. No es cierto que Juan termine su tarea y vaya al cine.
3. Juan no termina su tarea y no va al cine.

Solución:

Primero identificaciones las proposiciones simples o atómicas:

p = Juan va al cine

q = Juan termina su tarea

Luego empezamos a construir la representación simbólica para cada expresión.

"Es necesario que Juan no vaya al cine para que termine su tarea"

Lo cual es lo mismo que decir que si Juan no va al cine, entonces termina su tarea. Por lo tanto tenemos:

"No es cierto que Juan termine su tarea y vaya al cine"

Lo cual nos lleva a la siguiente representación simbólica:

"Juan no termina su tarea y no va al cine"

Esto nos lleva a la siguiente expresión simbólica:

Ahora tratemos de llevar estas expresiones a sus formas más simples. En el primer caso, podemos recurrir a la equivalencia de la condicional, el cual es:

Si te queda duda de esta equivalencia, no tienes más que resolver la tabla de verdad de ambas expresiones para que veas que son exactamente lo mismo. 

Por lo tanto al resolver la primera expresión tenemos que:

Al resolver la segunda expresión, y aplicando De Morgan llegamos a lo siguiente:

Y finalmente la última expresión no necesita mayor simplificación, por lo que al comparar las tres expresiones concluimos que ninguna expresión es equivalente entre sí.